3. ÁNGULO TRIGONOMÉTRICO
SENTIDO DE GIRO ANTIHORARIO
• EL ÁNGULO
TRIGONOMÉTRICO
SE OBTIENE
GIRANDO UN RAYO
) POSITIVO
ALREDEDOR DE SU
ORIGEN. B
SENTIDO DE GIRO HORARIO
O )
A
OA : LADO INICIAL
) NEGATIVO
OB : LADO FINAL
O: VÉRTICE
4. SISTEMAS DE MEDICIÓN
ANGULAR
• SISTEMA SEXAGESIMAL (SISTEMA INGLÉS)
o ' "
GRADO :
1 MINUTO :
1 SEGUNDO :
1
EQUIVALENCIAS
o ' ' " o "
1 60 1 60 1 3600
o
1vuelta= 3 6 0
5. En el sistema sexagesimal los ángulos se pueden expresar
en grados, minutos y segundos
o
B ' C '' A B ' C ''
o
A
Los números de y C deben ser menores de 60
Para convertir B grados a segundos se multiplica por 3600
RELACIONESdede minutos a segundos se multiplica por 60
Para convertir DE CONVERSIÓN
Para convertir
grados a minutos se multiplica por 60
x 3600
x 60
Para convertir de segundos a grados se divide entre 3600
x 60
GRADOS MINUTOS SEGUNDOS
: 60 : 60
Para convertir de minutos a grados se divide entre 60
: 3600
Para convertir de segundos a minutos se divide entre 60
6. o
EJEMPLO : 20 36 ' 45 ''
EXPRESAR EN GRADOS SEXAGESIMALES
o ' ''
20 36 45
o o o o
o 36 45 o 3 1
20 20
60 3600 5 80
Al número 36 se le divide entre 60 y
o
1entre 3600
Al número 45 se le divide 649
CONCLUSIÓN:
80
RELACIÓN ENTRE LOS NÚMEROS DE GRADOS, MINUTOS y
SEGUNDOS
NÚMERO DE GRADOS SEXAGESIMALES = S
NÚMERO DE MINUTOS SEXAGESIMALES ( m ) = 60S
NÚMERO DE SEGUNDOS SEXAGESIMALES ( p ) = 3600S
7. EJEMPLO
Calcular la medida de un ángulo en el sistema sexagesimal ,
sabiendo que su número de minutos sexagesimales más el doble de su
número de grados sexagesimales es igual a 155.
SOLUCIÓN
Sea S = número de grados sexagesimales
Entonces el número de minutos sexagesimales = 60S
Dato : 6 0 S 2 S 1 5 5 62S 155
155 5(3 1) 5
S S
62 2(3 1) 2
5º 4º 60 '
El ángulo mide : 2º 30 '
2 2
9. SISTEMAS DE MEDICIÓN
ANGULAR
• SISTEMA CENTESIMAL (SISTEMA FRANCÉS)
m s
GRADO :
g
1 MINUTO : 1 SEGUNDO : 1
EQUIVALENCIAS
m s
1 100 1 10000
g m g s
1 100
g
1vuelta= 4 0 0
10. En el sistema centesimal los ángulos se pueden expresar en
grados, minutos y segundos
g m s
C A B C
g m s
A B
Los números de y C deben ser menores de 100
Para convertir B grados a segundos se multiplica por 10000
RELACIONES DEminutos a segundos se multiplica por 100
Para convertir de de CONVERSIÓN
Para convertir grados a minutos se multiplica por 100
x 10 000
x 100
Para convertir de segundos a grados se divide entre 10000
x 100
GRADOS MINUTOS SEGUNDOS
: 100 : 100
Para convertir de minutos a grados se divide entre 100
: 10 000
Para convertir de segundos a minutos se divide entre 100
11. RELACIÓN ENTRE LOS NÚMEROS DE GRADOS, MINUTOS
y SEGUNDOS
SABES QUE : SABES QUE :
SABEMOS QUE9 CENTESIMALES 200 g g = C
NÚMERO DE GRADOS º 1 0 g
180 º
9º 10
NÚMERO DE MINUTOS CENTESIMALES (1 0(1= ) 100C
g
SIMPLIFICANDO ) OBTIENE 9(1º )
9(1º SE 1 0(1 ) n) g
g
NÚMERO DE SEGUNDOS 1 0(109(3 ) 0 0 ) ( q ) = 0 )
' 9 º CENTESIMALES 1 0(1 0 0 010 000C
1 0 0 m 6 '' S
9(6 0 )
'' s
27 SISTEMAS 250
81 ' m
RELACIÓN ENTRE LOS50 SEXAGESIMAL Y
CENTESIMAL
O g ' m " s
9 10 27 50 81 250
GRADOS MINUTOS SEGUNDOS
S C m n p q
9 10 27 50 81 250
12. SISTEMAS DE MEDICIÓN ANGULAR
• SISTEMA RADIAL (SISTEMA CIRCULAR)
EN ESTE SISTEMA
LA UNIDAD DE
R
MEDIDA ES EL
RADIÁN.
UN RADIÁN ES LA
.
.
)1ra d R
MEDIDA DEL R
ÁNGULO CENTRAL
QUE SUBTIENDE
EN CUALQUIER
CIRCUNFERENCIA 1v u e lta 2 ra d
UN ARCO DE
LONGITUD IGUAL o ' ''
1ra d 5 7 1 7 4 5
AL RADIO.
13. RELACIÓN ENTRE LOS TRES SISTEMAS
0 g
180 200 rad
ESTA RELACIÓN SE USA PARA CONVERTIR DE UN
SISTEMA A OTRO.
EJEMPLOS
EN CADA UNO DE LOS SIGUIENTES CASOS CONVERTIR A RADIANES
0
A ) 5 4
EL ra d DE 3 VUELTA
SABES QUEO ÁNGULO UNA
MIDE : 5 4 o
ra d
g
360 º 400 2 rad
180 10
g
B ) 1SIMPLIFICANDO SE OBTIENE :
25
ra d
g 5
125 g ra d
200 8
14. EN CADA UNO DE LOS SIGUIENTES CASOS CONVERTIR AL SISTEMA SEXAGESIMAL
o
2 2(1 8 0 )
A) ra d ........... 120
o
3 3
o
g g 9
B )7 0 ................. 70 g 63 o
10
EN CADA UNO DE LOS SIGUIENTES CASOS CONVERTIR AL SISTEMA CENTESIMAL
3 3(2 0 0 )
g
A) ra d ........... 150
g
4 4
g
o o 1 0 g
B )2 7 ................ 27 o 30
9
15. FACTORES DE CONVERSIÓN
DE GRADOS SEXAGESIMALES ra d
A RADIANES 180
o
g
DE GRADOS SEXAGESIMALES 10
A CENTESIMALES o
9
DE GRADOS CENTESIMALES ra d
A RADIANES g
200
o
DE GRADOS CENTESIMALES 9
A SEXAGESIMALES g
10
DE RADIANES A GRADOS o
SEXAGESIMALES ra d 1 8 0
DE RADIANES A GRADOS g
CENTESIMALES rad 200
17. FÓRMULA DE CONVERSIÓN
S C R
180 200
S : NÚMERO DE GRADOS SEXAGESIMALES
C : NÚMERO DE GRADOS CENTESIMALES
R : NÚMERO DE RADIANES
EJEMPLO
CALCULAR EL NÚMERO DE RADIANES DE UN ÁNGULO ,SI SE CUMPLE:
8R
3S 2C 37
SOLUCIÓN
EN ESTE TIPO DE PROBLEMA SE DEBE USAR LA FÓRMULA DE CONVERSIÓN
18. S C R S 1 8 0k
K R k
180 200 C 2 0 0k
SE REEMPLAZA EN EL DATO DEL PROBLEMA
8(k )
3 (1 8 0 k ) 2 ( 2 0 0 k ) 3 7,SIMPLIFICANDO SE OBTIENE
1
1 4 8k 3 7 k
4
1
FINALMENTE EL NÚMERO DE RADIANES ES : R
4 4
NOTA : LA FÓRMULA DE CONVERSIÓN EN ALGUNOS CASOS CONVIENE EXPRESARLA
DE LA SIGUIENTE MANERA
S 9k
S C 2 0R
C 1 0k
9 10 k
R
20
19. OTRAS RELACIONES IMPORTANTES
* ÁNGULOS COMPLEMENTARIOS SUMAN : 9 0 o 1 0 0 g ra d
O g
2
* ÁNGULOS SUPLEMENTARIOS SUMAN : 180 200 rad
SISTEMA COMPLEMENTO SUPLEMENTO
SEXAGESIMAL S 90 - S 180 - S
CENTESIMAL C 100 - C 200 - C
RADIAL R R R
2
* EQUIVALENCIAS USUALES:
o o o
ra d 6 0 ra d 4 5 ra d 3 0
3 4 6
20. EJERCICIOS
1. CALCULAR :
45º ra d
E 12
g
50 33º
SOLUCIÓN
Para resolver este ejercicio la idea es convertir cada uno de los
valores dados a un solo sistema ,elegimos el SISTEMA
SEXAGESIMAL
180º g 9º
ra d 1 5 º ; 50 ( g
) 45º
12 12 10
Reemplazamos en E
45 º 15 º 60º
E 5
45 º 33º 12º
21. 2. El número de grados sexagesimales de un ángulo más
el triple de su número de grados centesimales es 78,
calcular su número de radianes
SOLUCIÓN
Sea S = número de grados sexagesimales
C = número de grados centesimales
Sabes que : S C
=K S = 9K y C = 10K
9 10
Dato : S + 3C = 78
9K + 3( 10K ) = 78 39K = 78 K=2
El número de radianes es :
k 2
R R
20 20 10
22. 3. Determinar si es verdadero o falso
A ) ra d 1 8 0
g g
B) El complemento de 30 es 7 0
24º 2º
C)
g g
36 3
D ) Los ángulos interiores de un triángulo
suman ra d
E ) 180º
F ) 1º 1g
G ) El número de grados sexagesimales de un ángulo es igual al
90% de su número de grados centesimales
